何も言わない統計学

身近な事柄を題材とした統計に関する記事を書きます。

南海トラフ地震の発生確率とその図示

BPT分布

１．南海トラフ地震の発生確率

政府の地震調査研究推進本部事務局のWebページ

「南海トラフで発生する地震」によれば、下記のとおりとなっております。

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そして、詳細については、

「南海トラフの地震活動の長期評価（第二版）」に書かれています。

その中で、下記の表があり、南海トラフ地震の発生確率は、BPT分布を用いて計算されていることが分かります。

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２．BPT分布とは

BPT分布とは、Brownian Passage Time 分布の略で、逆ガウス分布、ワルド分布とも言われます。確率密度関数 $f(t)$ は、下記のとおり表現される分布です。

BPT分布、逆ガウス分布、ワルド分布の確率密度関数 $f(t)=\sqrt{ \cfrac{\mu}{2\pi\alpha^2t^3}} \exp\left(\cfrac{-(t-\mu )^2}{2\alpha^2\mu t}\right)$

（記号の意味）

$\mu$ ：次の地震までの発生間隔（再現期間）
$\alpha$ ：ばらつき
$t$ ：前回の地震からの経過時間

３．BPT分布の平均、分散

BPT分布の平均E(X)、分散V(X)は下記のとおりです。

BPT分布の平均、分散 $E(X)=\mu ,V(X)=(\alpha \mu)^2$

4．BPT分布の図示

上記より、BPT分布を用いて、南海トラフ地震を確率的に図示すると下図となります（ $\mu=88.2,\alpha=0.20,0.24,t=0を1946年としてあります$ ）。

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n回陽性的中率、n回陰性的中率の計算方法

ベイズの定理

１．n回陽性的中率の計算方法

前回の記事では感染している事象を $X$ 、 $n$ 回PCR検査を受けて $n$ 回全て陽性の反応を示す事象を $Y_n$ とすれば、次のように表すことができました。

n回陽性的中率（前回の復習） $P(X\mid Y_n)=\dfrac{P(Y_n\mid X)P(X)}{P(Y_n)}$

n回陽性的中率

ここで、感度を $Se$ 、特異度を $Sp$ 、感染者割合を $A$ とすると、

$P(Y_n\mid X)=Se^n$
$P(X)=A$ 　（統計学では、これを事前確率と言います）

$P(Y_n)$ は、感染者が正しく $n$ 回全て陽性となる確率と非感染者が $n$ 回全て誤って陽性となる確率の和となるので、

$P(Y_n)= P(X)P(Yn\mid X)+P(\bar X)P(Yn\mid \bar X)=ASe^n+(1-A)(1-Sp)^n$

したがって、下記のとおり計算することができます。

具体的なn回陽性的中率の計算方法 $P(X\mid Y_n)=\dfrac{Se^n A}{ASe^n+(1-A)(1-Sp)^n}$

図で表すと下図のようになります。

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２．検査方法が複数個ある場合

　上述については、１つの検査方法のみの場合を考えていました。検査方法が検査1,2･･･ $n$ 個ある場合には、感度 $Se$ を $Se_n$ (n=1,2･･･n)、特異度 $Sp$ を $Sp_n$ (n=1,2･･･n)として拡張すると、検査方法が複数個の場合についても下記のとおり計算することができます。

検査方法が複数個ある場合の計算方法 $P(X\mid Y_n)=\dfrac{A{\displaystyle\prod_{n=1}^{n}}Se_n}{A{\displaystyle\prod_{n=1}^{n}}Se_n+(1-A){\displaystyle\prod_{n=1}^{n}}(1-Sp_n)}$

３．n回陰性的中率の計算方法

n回陰性的中率もn回陽性的中率と同様の考え方で計算できます。

n回陰性的中率（前回の復習） $P(\bar X\mid \bar Y_n)=\dfrac{P(\bar Y_n\mid \bar X)P(\bar X)}{P(\bar Y_n)}$

n回陽性的中率

具体的なn回陰性的中率の計算方法 $P(\bar X\mid \bar Y_n)=\dfrac{Sp^n (1-A)}{A(1-Se)^n+(1-A)Sp^n}$

複数回PCR検査の受ける場合の精度に関する新たな指標の提案

ベイズの定理

１．ベイズの定理

まず、ベイズの定理の確認から。

ベイズの定理 $P(X\mid Y)=\dfrac{P(Y\mid X)P(X)}{P(Y)}$

（記号の意味）

$P(X)$ ：事象 $X$ が起こる確率
$P(Y)$ ：事象 $Y$ が起こる確率
$P(X\mid Y )$ ：事象 $Y$ が起こる条件のもとで事象 $X$ が起こる確率
$P(Y\mid X )$ ：事象 $X$ が起こる条件のもとで事象 $Y$ が起こる確率

（導出方法）

ベイズの定理は下記の２式（条件付き確率）から導かれます。

$\begin{cases} P(X \mid Y)=\dfrac{P(Y\cap X)}{P(Y)} \\\\ P(Y\mid X)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(X)} \end{cases}$

２．従来のPCR検査の精度

ウイルスに感染している事象を $X$ 、PCR検査で陽性の反応を示す事象を $Y$ とすれば、下記のとおり表現することができます。

感度： $P(Y\mid X )$
特異度： $P(\bar Y\mid \bar X )$
陽性的中率： $P(X\mid Y )$
陰性的中率： $P(\bar X\mid \bar Y )$

ちなみに、 $\bar X$ 、 $\bar Y$ はそれぞれ $X$ 、 $Y$ の余事象を表し、 $\bar X$ は感染していない事象、 $\bar Y$ は陰性の事象のことです。

３．n回陽性的中率、n回陰性的中率

さて、次に複数回PCR検査を受ける際の精度について考えます。

それは、複数回PCR検査を受けて全て同じ結果だった時の的中率を考えれば良いと考えます。

つまり、 $n$ 回PCR検査を受けて $n$ 回全て陽性の反応を示す事象を $Y_n$ とすれば、 $n$ 回陽性的中率及び $n$ 回陰性的中率は下記のとおり定義できます。

n回陽性的中率 $P(X\mid Y_n)=\dfrac{P(Y_n\mid X)P(X)}{P(Y_n)}$

n回陰性的中率 $P(\bar X\mid \bar Y_n)=\dfrac{P(\bar Y_n\mid \bar X)P(\bar X)}{P(\bar Y_n)}$

$\bar Y_n$ は $n$ 回全て陰性の反応を示す事象です。

次回は、n回陽性的中率とn回陰性的中率の具体的な計算方法についての記事を書きます。