何も言わない統計学

身近な事柄を題材とした統計に関する記事を書きます。

複数回PCR検査の受ける場合の精度に関する新たな指標の提案

ベイズの定理

１．ベイズの定理

 まず、ベイズの定理の確認から。 

ベイズの定理P(X\mid Y)=\dfrac{P(Y\mid X)P(X)}{P(Y)}
 （記号の意味）
  • P(X)：事象Xが起こる確率
  • P(Y)：事象Yが起こる確率
  • P(X\mid Y )：事象Yが起こる条件のもとで事象Xが起こる確率
  • P(Y\mid X )：事象Xが起こる条件のもとで事象Yが起こる確率
 
（導出方法）
ベイズの定理は下記の２式（条件付き確率）から導かれます。

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} P(X\mid Y)=\dfrac{P(Y\cap X)}{P(Y)} \\ P(Y\mid X)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(X)} \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 

２．従来のPCR検査の精度

ウイルスに感染している事象をX、PCR検査で陽性の反応を示す事象をYとすれば、下記のとおり表現することができます。

  • 感度：P(Y\mid X )
  • 特異度：P(\bar Y\mid \bar X )
  • 陽性的中率：P(X\mid Y )
  • 陰性的中率：P(\bar X\mid \bar Y )

ちなみに、\bar X 、\bar YはそれぞれX、Yの余事象を表し、\bar X は感染していない事象、\bar Yは陰性の事象のことです。

 

３．n回陽性的中率、n回陰性的中率

 さて、次に複数回PCR検査を受ける際の精度について考えます。

それは、複数回PCR検査を受けて全て同じ結果だった時の的中率を考えれば良いと考えます。

つまり、n回PCR検査を受けてn回全て陽性の反応を示す事象をY_nとすれば、n回陽性的中率及びn回陰性的中率は下記のとおり定義できます。

n回陽性的中率P(X\mid Y_n)=\dfrac{P(Y_n\mid X)P(X)}{P(Y_n)}
 
n回陰性的中率P(\bar X\mid \bar Y_n)=\dfrac{P(\bar Y_n\mid \bar X)P(\bar X)}{P(\bar Y_n)}
 
\bar Y_nはn回全て陰性の反応を示す事象です。
 
次回は、n回陽性的中率とn回陰性的中率の具体的な計算方法についての記事を書きます。